De quelques notions fondamentales de géométrie et de trigonométrie

Ce qui suit présente les notions fondamentales de géométrie et de trigonométrie qui sont nécessaires pour démontrer ce que j'appelle le 'théorème fondamental de la navigation astronomique', cette relation qui donne la hauteur angulaire du soleil au dessus de l'horizon à partir de
- la latitude de l'observateur,
- la hauteur angulaire du soleil par rapport à l'équateur et
- l'heure de l'observation (mais exprimée sous la forme d'un angle)
et qui permet de se situer en tout point de la terre à l'aide d'un sextant, d'une montre précise et d'un éphéméride (table numérique annuelle) donnant la hauteur du soleil au dessus de l'équateur pour chaque jour d'une année.

Trois décennies d'enseignement de matières scientifiques dans une faculté des lettres m'ont amplement démontré que les difficultés proviennent presque toujours d'une connaissance insuffisante de notions dites de base, ou élémentaires, présumées à tort connues et assimilées par l'auditoire. Construire sur du sable est une perte de temps pour tous...
On ne s'étonnera donc pas que je présente ici avec autant de soin que je le puis des objets mathématiques aussi simples que la notion d'angle ou de triangle rectangle, ou des théorèmes comme celui de la somme des angles d'un triangle.
Ce temps passé à présenter ces 'humbles' notions dans différents domaines n'a jamais été perdu, loin de là. Il m'a permis de mener la quasi-totalité des d'étudiant(e)s qui m'étaient confiés au succès, un public travailleur, exigeant et attentif, se révoltant sans hésitation devant les obscurités et imprécisions... J'ai été heureux d'apaiser en partie chez beaucoup les traumatismes de leur scolarité antérieure, et de leur démontrer qu'ils avaient les capacités à accéder à (une partie raisonnable de) la connaissance scientifique... Incorrigible naïf, je rève toujours de citoyens munis des deux cultures dont parlait C.P. Snow il y a longtemps déjà...

1. La mesure des angles

Soit un cercle de centre O dont le rayon R vaut une unité de longueur (donc R = 1).
Traçons deux rayons (non confondus) OA et OB quelconques : ces deux rayons divisent le cercle en deux arcs (= portions du cercle), en général inégaux sauf si les deux rayons forment un diamètre, dont la somme est le cercle complet (Fig. 1).
Le petit arc est ici AB et le grand BA : on convient de nommer ces arcs en tournant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. La disposition des rayons OA et OB fait apparaître deux angles de sommet O. On nommera ces deux angles AOB et BOA.
Les angles sont désignés par un triplet de lettres majuscules indiquant un point de départ, le sommet, et un point d'arrivée.
Dans l'idéal, il faudrait placer un "chapeau pointu" sur le triplet de lettres, mais le code HTML ne le permet pas. chapeau

La mesure d'un angle est par définition la longueur d'un arc
Par définition donc, l'angle AOB de la fig. 1 a pour mesure δ, numériquement égale à d, la longueur de l'arc AB

Il ne faut pas confondre l'angle, qui est un 'objet' mathématique résultant de la disposition particulière de deux droites convergentes dans l'espace, avec sa mesure δ, qui est un nombre.
Il peut être utile dans certains cas de définir un mesure d'angle comme positive ou négative. On les distingue en fonction du sens du parcours de l'arc de cercle. Par convention, le sens positif de parcours le long du cercle est le sens inverse de la rotation des aiguilles d'une montre (cf la flèche de la fig. 1) : la mesure de l'angle BOA par exemple sera négative car on mesure d de B vers A, dans le sens des aiguilles d'une montre, d'où δ = - d. La notion de mesure négative d'un d'angle n'est pas utile dans la géométrie des triangles, mais essentielle dans les relations établies à partir d'un cercle, comme les fonctions sinus et cosinus.

2. La notion de 'zoom'

Tout le monde a aujourd'hui une expérience personnelle du zoom photographique (ou de l'agrandissement ou réduction appliqué par un photocopieur).
Il est clair que la "forme" d'un objet ne change pas lorsqu'on zoome : un cercle reste un cercle, un carré un carré...
En fait, quand on 'zoome' sur une figure, toutes les longueurs sont multipliées par le même facteur, quelle que soit son orientation, verticale, horizontale ou oblique.
Pour connaître le "facteur de zoom", il suffit de mesurer le rapport de longueur entre deux segments de droite homologues (= qui se correspondent d'une figure à l'autre), l'un sur la figure originale et l'autre sur la figure zoomée. Ce facteur s'applique à toutes les autres longueurs mesurées sur des droites ou des courbes. Les surfaces sont proportionnelles au carré du facteur de zoom, et les volumes au cube.
Or les angles, eux, ne changent pas : si vous zoomez d'un facteur 2, les angles ne doublent certainement pas ! Voici pourquoi.
Appliquons ce concept de zoom à notre cercle de rayon unité (Fig. 2): si le rayon passe de 1 à R, le facteur de zoom est R (car R = 1*R). L'arc de cercle AB subira la même augmentation : il vaudra D = R·d. Mais la mesure des angles doit rester la même !

La mesure δ d'un angle restera la même si on la définit par D/R, car D/R = R·d / R = d.
Cette définition de la mesure d'un angle comme le rapport de la longueur de l'arc intercepté par deux rayons au rayon du cercle est équivalente à celle donnée plus haut (la mesure d'un angle comme longueur de l'arc intercepté), car le rayon avait été posé égal à 1 !
Ce concept de 'zoom', s'il est bien trop vague pour être mathématiquement satisfaisant, est suffisant (j'espère) ici. Nous préciserons plus loin la condition que doit remplir un triangle pour être semblable à un autre.

3. Le radian

L'unité d'angle mathématique est le radian (rad).
C'est par définition l'angle qui correspond à un arc de longueur égale à un rayon.
Si le rayon vaut 1, comme à la fig. 3, l'arc de cercle vaut 1.

On remarque que cette définition n'implique aucun 'être mathématique" qui ne soit déjà disponible, et c'est pourquoi les mathématiciens l'utilisent.

4. π ou 180° ?

Depuis 2250 ans, on connaît une technique, décrite par Archimède, permettant d'établir que la demi-circonférence d'un cercle de rayon 1 a pour longueur π = 3,14159...
(cf http://fr.wikipedia.org/wiki/Pi )
La mesure de l'angle correspondant est donc égale à π (on n'écrit pas π_rad, l'unité restant implicite)
Tout le monde sait que l'unité pratique de mesure des angles est le degré (°).
- Un angle interceptant un quart de circonférence (π /2) vaut 90°, les rayons étant dit dans ce cas perpendiculaires. Un tel angle est dit droit.
Notons que cette valeur numérique en degré est arbitraire, sans justification autre que d'être issue d'un usage très ancien (civilisation Babylonienne) et d'être pratique.
- Un angle interceptant une demi-circonférence (π) vaut 180°. Les deux rayons forment un diamètre. Un tel angle est dit plat.
- Si les deux rayons sont confondues, l'un des angles est nul (0 ou 0°) et l'autre vaut 2 π ou 360°, qui est la mesure d'angle d'un "tour complet du cercle"
Les démonstrations mathématiques utilisent le radian, les mesures concrètes le ° : un sextant et un compas sont gradués en °, et non en radians !

La valeur d'un radian exprimée en degrés n'a guère d'intérêt pratique : la voici pourtant.
Une demi-circonférence vaut 180° ou π radians: donc 1 radian = 180°/ π = 57,295779...°
Mais il peut être utile de savoir convertir une valeur en radians en sa valeur en degrés et réciproquement, les fonctions trigonométriques des tableurs exigeant (souvent) des angles en radians :
x° = x _rad * 180° / π (j'écris x _rad pour plus de clarté)
(on vérifie ? Si x_rad = π, x° = π * 180 ° / π est bien égal à 180°)
x _rad = x° * π / 180
(on vérifie ? Si x° = 180, x _rad = 180 * π / 180 est bien égal à π)
Sur beaucoup de tableurs la fonction (sans argument) PI( ) renvoie π
(Pour vous détendre, consultez l'article 'grade' de Wikipédia http://fr.wikipedia.org/wiki/Grade_(angle) et courez chercher une carte de l'IGN)

5. Triangle rectangle et quelconque

Un triangle dit rectangle possède deux côtés formant un angle droit (90°ou π /2). Le grand côté, opposé à l'angle droit, est appelé hypoténuse (Fig. 4)
Dans un triangle quelconque, les trois angles sont différents, aucun ne valant 90°.

Conventions de notation :
Les sommets du triangle sont (très souvent) désignés par des lettres majuscules : A, B, C (cf. Fig. 4).
On nomme un triangle en citant les sommets. On peut commencer par un sommet quelconque : le triangle ABC (ou CBA, ou BCA ou ...) Dans l'idéal, pour ne pas confondre ce triplet de lettres avec la notation d'un angle (qui devrait porter un "chapeau pointu"), il faudrait placer un petit triangle sur le triplet, comme ça: Chapeautriangle

On a vu que les angles sont désignés par un triplet de lettres majuscules indiquant un point de départ, le sommet, et un point d'arrivée : Un angle CAB, par exemple, est l'angle formé par le segment de droite CA et le segment BA, qui se rencontrent en A. Il faut éviter de dire par exemple la droite CA pour le segment de droite CA : la droite CA est une droite d'extension (potentiellement) infinie contenant les points C et A, ce qui détermine sa direction, alors que le segment de droite CA est la portion de droite dont les extrémités sont A et C.
Les valeurs (ou mesures)des angles sont désignées par des lettres grecques : α, β, γ...
Dans un triangle, les lettres minuscules (a, b, c...) désignent la mesure (longueur) des côtés : a est la distance entre C et B : c'est la mesure du côté qui fait face (= est opposé) au sommet A de l'angle CAB; de même pour b (opposé au sommet B ou à l'angle ABC)....
En géométrie, les angles n'ont pas besoin d'être orientés. Donc l'angle CAB de mesure α ne se distingue pas de l'angle BAC, aussi de mesure α. De même le segment de droite AB ne se distingue pas du segment BA. Mais cela n'est pas vrai (en général) en trigonométrie.

6. - La somme des angles d'un triangle vaut π

Considérons d'abord deux droites parallèles et une droite qui les coupe, appelée sécante. (Fig. 5)

Euclide a "démontré" (en géométrie euclidienne, là où deux parallèles ne se coupent pas) l'égalité des angles dits "alternes-internes" (en rouge) et des angles dits "alternes-externes" (en bleu). Chaque angle d'un couple rouge-bleu (angles dits "opposés par le sommet") sont également égaux. Les angles dits "parallèles" (en vert) sont également égaux.

Considérons maintenant un triangle ABC quelconque dont les angles sont α, β et γ.
Comme Pythagore, traçons une droite DD' parallèle à AB passant par C (Fig. 6).

Les angles D'CB et CBA (= β) sont égaux car alternes-internes(CB coupe AB et DD' qui sont parallèles)
Les angles CAB et DCA (= α) sont égaux car alternes-internes.
La somme α + γ+ β forme l'angle plat DCD'.
Donc α + β + γ = π

La somme des deux angles non droits d'un triangle rectangle vaut π/2

Dans un triangle rectangle, l'un des angles vaut π/2, donc la somme des deux autres vaut également π/2 : sur la figure 7, comme α = π/2, alors β + γ = π/2. On a évidemment la relation β = π/2 - γ et γ& = π/2 - β.

7. Triangles semblables et égaux

Deux triangles sont semblables (= ont la même forme ) s'ils ont deux angles homologues égaux: le troisième l'est obligatoirement car la somme vaut π.
Ils ne diffèrent que par un coefficient de zoom. Si ce dernier vaut 1, ces triangles sont égaux
Semblable ne veut pas dire égal ! : on 'démontre' (ou plutôt on postule) que deux triangles sont égaux (= congrus) quand ils ont (Fig. 7)
- un angle homologue égal pris en sandwich entre deux côtés homologues égaux, ou
- leurs trois côtés homologues égaux, ou encore
- un côté homologue égal pris en sandwich entre deux angles homologues égaux.

8. - L'aire du carré, du rectangle et du triangle rectangle

L'aire (ou superficie) d'un carré de côté a vaut par définition a² (= a × a).
L'aire d'un rectangle de côtés a et b vaut par définition a × b.
Montrons que l'aire d'un triangle rectangle est ab/2, a et b étant les côtés qui encadrent l'angle droit.

Soit un triangle rectangle BCA dont les angles non droits sont α et β et dont les côtés qui encadrent l'angle droit mesurent a et b (Fig. 8). Clonons ce triangle pour obtenir un triangle identique B'C'A', qui a bien sûr la même aire que BCA. Faisons coïncider (par glissemement et rotation) les hypoténuses BA et B'A', les sommet A' et B et le sommet B' et A.
Les 4 coins du quadrilatère A'C'AC sont visiblement des angles droits (car α + β = π/2), et la figure est donc un rectangle d'aire ab. Les deux triangles ayant la même aire, celle-ci vaut donc ab/2.
Il n'est pas difficile de généraliser ce résultat à l'aire d'un triangle quelconque en construisant la hauteur du triangle, mais c'est inutile pour ce qui suit.

9. Théorème de Pythagore

Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Il existerait quelque 370 démonstrations de ce théorème ( cf https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Pythagore)
J'aime bien celle dite de Chou-pei Suan-ching, qui a plus de 2000 ans.
Soit un triangle rectangle ABC dont les côtés perpendiculaires sont a et b, les angles non droits α et β et l'hypoténuse c (Fig. 9)

Clonons le triangle ABC et plaçons ce nouveau triangle ADC' (en rouge sur la fig. 9) de telle manière que son côté a soit dans le prolongement du côté b du premier triangle, et que le côté b du nouveau triangle surplombe le côté a de l'ancien.
Il est clair que l'angle BAD est droit car l'angle plat CAC' = π = BAD + α + β = BAD + π/2, car α + β = π/2.
Donc BAD = π/2
Répétons deux fois encore ce clonage (Fig. 10): les nouveaux triangles sont en bleu.
Par le même raisonnement, les angles ADE, DEB et EBA sont droits.
ADEB est donc un carré de côté c, dont l'aire est c². De même CC'C''C''' est un carré de côté a+b dont l'aire est (a+b)².
Ce carré est la somme du carré ABED et des 4 triangles ABC, ADC', EDC" et BEC"'. Chacun de ces triangles a pour aire ab/2
On a donc, pour les aires, CC'C''C''' = ADEB + 4 ab/2 = ADEB + 2 ab, donc (a+b)² = a² + 2 ab + b² = c² + 2 ab
D'où a² + b² = c²

10. Sinus et Cosinus

Pour le domaine qui nous intéresse, l'intérêt essentiel des fonctions cosinus et sinus est de permettre l'expression de relations entre la longueur des côtés et les angles des triangles.
Mais ces fonctions sont essentielles dans bien d'autres domaines des mathématiques (produit scalaire, vectoriel...) et de la physique (mouvement sinusoïdal, réfraction optique... ) L'article de Wikipédia est très intéressant : https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_trigonom%C3%A9trique

10.1 Cosinus

Considérons un cercle unité (= un cercle dont le rayon vaut une unité) de centre O, et munissons le plan d'un repère orthonormé dont l'origine est O (= deux droites perpendiculaires X'X et Y'Y se croisant en O, avec la même "échelle de mesure" sur chacune).
On vient de définir le cercle dit trigonométrique
Dans la fig. 11 ci-dessous, XX' est horizontal, donc YY' est vertical, mais ce choix est arbitraire et rien ne dépend de cette orientation particulière, choisie pour la simplicité du tracé des figures.
Traçons un rayon quelconque OA (Fig. 11)

L'angle XOA a pour mesure α. α est positif si l'on parcourt l'arc de cercle XA de X vers A, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Abaissons la perpendiculaire de A sur l'axe XX'. Elle coupe l'axe XX en A'.

Par définition, la longueur du segment OA' est la valeur du cosinus de l'angle α
écrit cos(α) ou même cos α

On peut considérer que cosinus est une fonction qui prend comme argument (= une fonction dont la variable est) une valeur d'angle. Elle renvoie comme résultat un nombre qui correspond à la mesure ( = la longueur) d'un segment de droite.
Si A' est à droite de O, la valeur renvoyée par cos α est positive : cos α est positif.
C'est le cas lorsque A se trouve sur le demi-cercle YXY'.
Lorsque A est entre X et Y, on parle de premier quadrant, entre Y et X' de second quadrant, entre X' et Y' de troisième quadrant et entre Y' et X de quatrième quadrant.
Cos α est positif quand A est dans le premier ou le quatrième quadrant.
Si A' tombe à gauche de O, cos α est négatif. C'est le cas lorsque A se trouve sur le demi-cercle YX'Y' (c'est-à-dire dans le deuxième ou troisième quadrant)

Dans tous les cas précédent α était positif, compté dans le sens des aiguilles d'une montre. Mais chaque position de A peut aussi être obtenue avec un angle α négatif, valant donc -α. Comparez les fig. 14 et 15. Pour un angle -α l'arc de cercle qui le mesure est parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, de X vers A. Ceci est bien sûr vrai pour un angle α quelconque.
La règle des signes de cos α est donc
    cos α ≥ 0 si α est ≥ 3π /2 (ou - π /2) ou si ≤ π /2
    sinon cos α < 0

Voici maintenant un ensemble de relations importantes
Il est clair que
    cos 0 = 1
car OA' est alors confondu avec le rayon (de longueur unité) sur OX.
On peut noter que cos α est toujours compris entre 1 et -1. La projection (= perpendiculaire) de A sur XX' ne peut dépasser la longueur du rayon !
On a visiblement aussi
    cos π = - 1
A' étant sur le cercle, sur le rayon confondu avec OX', le plus à gauche possible
et
    cos π/2 = cos 3 π/2 = 0
A' tombant sur O, le long de YY'.

Très important est le fait que cos (-α) = cos α
Considérons les points A et B qui définissent les angles α et -α (Fig. 17).
        cosinus6

Fig. 17

Dans les triangles rectangles AOA' et BOB', les angles A'OA et B'OB sont égaux, car il reste dans les deux cas un angle π - α pour compléter l'angle plat X'OX. Donc les troisièmes (B'BO et A'AO) aussi. Comme ces triangles ont un côté homologue égal (les rayons) pris en sandwich entre deux angles homologues égaux, ils sont égaux. Donc OA' = OB' et
cos (-α) = cos α

Enfin, il est clair que cos(2π + α ) = cos α, et ceci quel que soit α. Un angle de 2π est en effet un tour complet, qui ramène A à son point de départ X. Seul α joue donc un rôle. De même, cos(2π - α ) = cos (-α) = cos α pour les mêmes raisons. On peut généraliser à cos(k2π ± α) = cos α, où k est un entier positif, nul, ou négatif. Ceci est la définition d'une fonction périodique : elle reprend de manière répétitive les mêmes valeurs lorsque son argument parcourt l'étendue des valeurs possibles.

Cosinus et longueur des côtés d'un triangle rectangle

Pour le domaine qui nous intéresse, l'intérêt essentiel des fonctions cosinus et sinus est de permettre l'expression de relations entre la longueur des côtés et les angles des triangles.
Soit un triangle rectangle ABC, et un triangle rectangle OAA' semblable (= de même forme = possédant les mêmes angles) dont l'hypoténuse est égale à 1 (unité) (Fig. 18).
Cosinus7

Fig. 18

Le triangle OAA' étant identique à la construction utilisée pour définir cos α, OA' vaut de toute évidence cos α.
Le facteur de zoom est donné par la longueur de l'hypoténuse, c, car c = 1.c Donc AC = b = c cos α, et
cos α = b / c.

Le cosinus d'un angle du triangle est donc égal au rapport entre la longueur du côté qui n'est pas à l'opposé de cet angle et l'hypoténuse.
Donc
Si on connaît la longueur de l'hypoténuse c et la valeur d'un angle α , on peut calculer la longueur L du côté qui n'est pas à l'opposé de cet angle par L = c cos α
Si on connaît la longueur L d'un coté et la valeur d'un angle α qui n'est pas à l'opposé, on peut calculer la longueur de l'hypoténuse c par c = L / cos α
Si on connaît la longueur de l'hypoténuse c et la longueur d'un côté L, on peut calculer le cosinus de l'angle α qui n'est pas à l'opposé du côté par cos α = L /c

B - SINUS

Reprenons le cercle trigonométrique qui nous a servi pour établir les propriétés de la fonction cosinus.
Soit un rayon OA.
Abaissons la perpendiculaire de A sur l'axe YY'. Elle coupe l'axe YY' en A" (Fig. 19).
Sinus0

                                                            Fig. 19

Par définition, la longueur du segment de droite OA" est la valeur de la fonction sinus(α) pour l'angle α (écrit sin(α) ou même sin α), le sinus de α

On remarque que AA' a pour mesure sin α. Le quadrilatère OA"AA' est en effet un rectangle. Les côtés sont parallèles deux à deux par construction et l'angle A"AA' est droit, comme les 3 autres : l'angle OAA" vaut α (angle alterne-interne par rapport à A'OA), l'angle OAA' vaut π/2 - α , donc leur somme A"AA' vaut π/2.
Le théorème de Pythagore sur le triangle OAA' donne immédiatement la relation fondamentale OA'² + AA' ² = OA ² d'où
                                    sin ² α + cos² α = 1
(On écrit traditionnellement sin² α pour (sin α)², bien sûr différent de sin α² = sin(α²))
La fonction sinus prend comme argument une valeur d'angle. Elle renvoie comme résultat un nombre qui correspond à la mesure d'un segment de droite.
Si A' est au-dessus de O, la valeur renvoyée par sin α est positive : sin α est positif. C'est le cas lorsque A se trouve sur le demi-cercle XYX'.
Sin α est positif quand α est dans le premier ou le second quadrant.
Si A" est au-dessous de O, sin α est négatif. C'est le cas lorsque A se trouve sur le demi-cercle X'Y'X (troisième ou quatrième quadrant).
On peut le constater sur les fig. 13 à 15 en projetant A sur l'axe YY'.
La règle des signes de sin α est donc
    sin α ≥ 0 si α est ≥ 0 et ≤ à π
    sinon sin α < 0

Voici maintenant un ensemble de relations importantes
Il est évident que
    sin 0 = 0
OA" se projette sur le point O.
On peut noter que sin α est toujours compris entre 1 et -1.
On a visiblement aussi
    sin π = 0
et
    sin π/2 = 1
    sin 3 π/2 = -1
A étant sur l'axe YY'.

Très important est le fait que sin (-α) = - sin α

        Sinus3

Fig. 20

Traçons sur le cercle trigonométrique 2 rayons OA et OB tels que les angles XOA et XOB valent respectivement α et -α. (Fig. 20). Les triangles rectangles OAA" et OBB" ont les mêmes angles : AOA" vaut α - π / 2, tout comme BOB", les troisièmes (OAA" et OBB") sont donc identiques. Un côté homologue (les rayons) entre deux angles homologues égaux font que ces triangles sont égaux, donc OA" et OB" ont même longueur. Mais comme ils sont chacun d'un côté opposé de O,
sin (-α) = - sin α

Enfin, il est clair que sin (2π + α ) = sin α, et que ceci quel que soit α. Un angle de 2π est en effet un tour complet, qui ramène A à son point de départ X. Seul α joue donc un rôle. De même, sin(2π - α ) = sin (-α) = - sin α pour les mêmes raisons. On peut généraliser à sin(k2π + α) = sin α et sin(k2π - α) = - sin α où k est un entier positif, nul, ou négatif, ce qui est la caractéristique d'une fonction périodique.

Sinus et longueur des côtés d'un triangle rectangle
Rappelons que, pour le domaine qui nous intéresse, l'intérêt essentiel des fonctions cosinus et sinus est de permettre l'expression de relations entre la longueur des côtés et les angles des triangles.

Soit un triangle rectangle ABC et un triangle OAA' semblable (= de même forme = possédant les mêmes angles) dont l'hypoténuse est égale à 1 (unité) (Fig. 21)
Sinus4

                                                                                Fig. 21

Le triangle OAA' étant identique à la construction utilisée pour définir sin α, AA' vaut de toute évidence sin α.
Le facteur de zoom est donné par la longueur de l'hypoténuse, c, car c=1.c Donc BC = a = c sin α, et
                               sin α = a / c.

Le sinus d'un angle du triangle est donc égal au rapport entre la longueur du côté à l'opposé de cet angle et l'hypoténuse.

Mnémotechniquement : Sinus - OppoSé
Donc
Si on connaît la longueur de l'hypoténuse c et la valeur d'un angle α , on peut calculer la longueur L du côté opposé de cet angle par L = c sin α
Si on connaît la longueur L d'un coté et la valeur de l'angle α opposé, on peut calculer la longueur de l'hypoténuse c par c = L / sin α
Si on connaît la longueur de l'hypoténuse c et la longueur d'un côté L, on peut calculer le sinus de l'angle α opposé au côté par sin α = L /c

On peut enfin dériver deux relations particulièrement utiles entre sinus et cosinus

Dans le triangle ABC, on sait maintenant que BC = a = c sin α
On sait aussi que l'angle ABC vaut β = π/2 - α.         (somme des angles non droits d'un triangle rectangle)
Or BC est le coté non opposé à l'angle ABC = β . Il est donc égal à c cos β = c cos (π/2 - α) !
On a donc BC = c sin α = c cos (π/2 - α) d'où

                sin α = cos (π/2 - α) = cos(α - π/2)

De même, AC = b = c cos α, comme on l'a vu dans l'étude de la fonction cosinus : AC est le côté non opposé à α
Or AC est le côté opposé à β, donc AC = b = c sin β = c sin(π/2 - α) !
d'où AC = c cos α = c sin(π/2 - α)
et
                cos α = c sin(π/2 - α) = - c sin(α - π/2)

Ces deux relations seront mises à profit dans la partie suivante

8 - cos(α + β ) = cos β cos α - sin β sin α et toutes les autres.... :-((

On est là au coeur de la trigonométrie élémentaire. Sans la connaissance de ces formules, point de salut...

Cosab1

Fig. 22

Soi(en)t 2 rayons OA et OB sur le cercle unité muni d'un repère orthonormé (Fig. 22). L'angle XOA vaut α , l'angle AOB vaut β, donc l'angle XOB vaut α + β
On cherche à exprimer OB' = cos(α + β)

OB" = cos β (par définition: on note que OA joue ici pour β le rôle de OX pour α )
OCB' = BCB" (angles opposés par le sommet).
OCB' = π/2 - α car, dans le triangle OCB', α + OCB' + π/2 = π, donc BCB" = π/2 - α
CBB" = α car, dans le triangle CBB", BCB" + CBB" + π/2 = π : puisque BCB" = π/2 - α, on a π/2 - α + CBB" + π/2 = π , d'où CBB" = α (théorème dit des angles orthogonaux)

OB' = cos(α + β ) = OC cos α (par définition)
OC = cos β - CB"
d'où
cos(α + β ) = (cos β - CB") cos α = cos β cos α - CB" cos α
CB" = CB sin α d'où cos(α + β ) = cos β cos α - CB sin α cos α
Or BB" = CB cos α = sin β d'où CB = sin β / cos α
ce qui donne
cos(α + β) = cos β cos α - (sin β / cos α ) sin α cos α = cos β cos α - sin β sin α

On peut maintenant facilement trouver les trois relations qui concernent cos (α - β), sin (α + β) et sin (α - β)

cos (α - β) = cos(α + (- β )) = cos (-β) cos α -sin (-β) sin α
Comme cos (-β) = cos β et sin (-β) = - sin β
on a
cos (α - β) = cos β cos α - (- sin β sin α) = cos β cos α + sin β sin α

La formule établie pour cos(α + β) permet d'établir celle pour sin (α + β )
On a vu plus haut que cos (π/2 - δ ) = sin δ. Si δ = (α + β), cos(π/2 - (α + β)) = sin (α + β)
[On peut aussi le montrer par cos(π/2 - (α + β)) = cos π/2 cos (α + β) + sin π/2 sin (α + β) = sin (α + β) car cos π/2 = 0 et sin π/2 = 1]
Mais cos(π/2 - (α + β)) peut aussi s'écrire cos (( π/2 - α) - β)
donc
sin (α + β) = cos (( π/2 - α) - β) = cos ( π/2 - α) cos β + sin ( π/2 - α) sin β
Comme cos (π/2 - α) = sin α et sin (π/2 - α) = cos α
on obtient
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

On peut écrire sin (α - β) = sin (α + (-β))
Comme cos (-β) = cos β et sin (-β) = - sin β
sin (α - β) = sin α cos (- β) + cos α sin (-β) = sin α cos β - cos α sin β

NB: il existe des dizaines d'identités remarquables entre les fonctions trigonométriques. Seules celles utiles ici ont été mentionnés. Inutile aussi de définir les fonctions tangente et cotangente.

9 et dernier... La 'loi des cosinus'

On trouve ce théorème sous le nom (pédant) de théorème d'al-Kashi dans http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27Al-Kashi
Nous l'appelons "loi des cosinus" par traduction directe de l'anglais "law of cosines".
Il généralise le théorème de Pythagore aux triangles non rectangles..
C'est une relation entre la longueur d'un côté d'un triangle quelconque et la longueur des deux autres côtés ainsi que l'angle du sommet opposé.
Nous allons montrer que dans le triangle ABC de la fig. 23
       a²  = b² + c² - 2 bc cos(α)

et aussi
b²  = a² + c² - 2 ac cos(β)
c²  = a² + b² - 2 ab cos(γ)

Soit un triangle quelconque ABC. Notons que dans cette figure l'angle CAB (c'est-à-dire α) est supérieur à π/2 (ou 90°).
Traçons depuis C la perpendiculaire au prolongement du côté AB, qui coupe cette droite en H.
            extPyth

                                                               Fig. 23

L'angle HAC vaut π -α , et l'angle HCA vaut π - (π -α) - π/2 = α - π/2 (car la somme des angles du triangle HCA (c'est-à-dire l'angle HCA + π/2 + π-α) vaut π)
Le théorème de Pythagore permet d'écrire
a² = (c + AH)² + CH² = c² + 2 c AH + AH² + CH²
Or
AH = b sin(α - π/2) = - b cos(α)                      // sin(α - π/2) = - cos(α) car sin(α - π/2) = sin α cos π/2 - cos α sin π/2 et sin π/2 = 1 et cos π/2 = 0
AH² = b² cos²(α)

CH = b cos(α - π/2) = b sin(α)                        // cos(α - π/2) = sin (α) car cos(α - π/2) = cos α cos π/2 + sin α sin π/2 et sin π/2 = 1 et cos π/2 = 0
CH = b² sin²(α)
d'où
a² = c² - 2 c b cos(α) + b² cos²(α) + b² sin²(α) = c² - 2 c bcos(α) + b² (cos²(α) + sin²(α))
Comme cos²(α) + sin²(α) = 1
     a²  = b² + c² - 2 bc cos(α)

Cette relation reste vraie si l'angle CAB (c'est-à-dire α) est inférieur à π/2. (fig. 24)
            extPyth2

                                                Fig. 24

Traçons la perpendiculaire à AB passant par C qui coupe AB en H.
L'angle ACH vaut  π/2 - α, car angle ACH + π/2 + α = π
Le théorème de Pythagore permet d'écrire
a² = BH² + CH² = (c - AH)² + CH² = c² - 2 c AH + AH² + CH²
AH = b sin (π/2 - α) = b cos(α)
AH² = b² cos²(α)

CH = b cos (π/2 - α) = b sin(α)
CH² = b² sin²(α)
d'où
a² = c² - 2 c b cos(α) + b² cos²(α) + b² sin²(α)
a²  = b² + c² - 2 bc cos(α)

On peut vérifier qu'on trouve la même relation en traçant la perpendiculaire à la droite CA (ou à son prolongement) à partir de B.
Enfin, cette démonstration ne dépend pas du choix de a, qui est un côté quelconque. Elle se généralise donc aux deux autres côtés b et c, d'où les trois relations données au début de ce paragraphe.

Voilà, nous sommes prêts pour la démonstration du théorème fondamental de la navigation astronomique...

Voici, pour le plaisir, une autre démonstration plus algébrique de la loi des cosinus

ExtPyth3

Fig. 25

Connaissant u, s et α, on cherche r. On trace la perpendiculaire h sur u.
On a
cos α = u₂ / s
u₁² + h² = r²
u₂² + h² = s²
u₁ + u₂ = u
On fait
r² - s² = u₁² + h² - u₂² - h² = u₁² - u₂² = (u₁ + u₂) (u₁ - u₂)
Comme u₁ + u₂ = u, u₁ = u - u₂ et u₂ = s cos α
r² - s² = u (u - u₂- u₂) = u (u - 2u₂) = u² - 2u u₂ = u² - 2 u s cos α
d'où
r² = u² + s² - 2 u s cos α

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